Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 4 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 4$ .

$3 x^{2} - 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 4$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 4$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Passaggio 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{4}{3}}$ come $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} - 4 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.4

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.4.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.6

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $24$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $24 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

$- 4$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$\frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $24 \sqrt{3}$ da $8 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

${(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.4

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.4.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$- \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.6

Moltiplica $8$ per $3$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $24$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $24 \sqrt{3}$ .

$- \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $- 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.6.2

$4$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.6.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Per scrivere $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Somma $- 8 \sqrt{3}$ e $24 \sqrt{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{16 \sqrt{3}}{9}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{16 \sqrt{3}}{9})$

Passaggio 5