Calcolo Esempi

$4 x^{3} - 27 x^{2} - 336 x + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 27 x^{2} - 336 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 27 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 336 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 27$ .

$12 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [- 336 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 336 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 336$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 336 x$ rispetto a $x$ è $- 336 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 54 x - 336 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} - 54 x - 336 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 336$ per $1$ .

$12 x^{2} - 54 x - 336 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{2} - 54 x - 336 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $12 x^{2} - 54 x - 336$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 54 x - 336$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 54 x - 336$ .

$12 x^{2} - 54 x - 336$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 54 x - 336 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 54 x - 336 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $6$ da $12 x^{2} - 54 x - 336$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $6$ da $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 54 x - 336 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $6$ da $- 54 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x) - 336 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $6$ da $- 336$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x) + 6 (- 56) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 (2 x^{2}) + 6 (- 9 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 9 x) + 6 (- 56) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (2 x^{2} - 9 x) + 6 (- 56)$ .

$6 (2 x^{2} - 9 x - 56) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 56 = - 112$ e la cui somma è $b = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 x$ .

$6 (2 x^{2} - 9 x - 56) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 9$ come $7$ più $- 16$ .

$6 (2 x^{2} + (7 - 16) x - 56) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 (2 x^{2} + 7 x - 16 x - 56) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$6 ((2 x^{2} + 7 x) - 16 x - 56) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$6 (x (2 x + 7) - 8 (2 x + 7)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 7$ .

$6 ((2 x + 7) (x - 8)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (2 x + 7) (x - 8) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x - 8 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x + 7$ uguale a $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x + 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 7$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 7$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (2 x + 7) (x - 8) = 0$ vera.

$x = - \frac{7}{2}, 8$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $4 x^{3} - 27 x^{2} - 336 x + 2$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{7}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- \frac{7}{2}$ a $x$ .

$4 {(- \frac{7}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{7^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$4 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$4 (- \frac{343}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$4 (- \frac{343}{8}) - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{343}{8}$ nel numeratore.

$4 (\frac{- 343}{8}) - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$4 \frac{- 343}{4 (2)} - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{- 343}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 343}{2} - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{343}{2} - 27 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.7

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{343}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{343}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{343}{2} - 27 (1 \frac{7^{2}}{2^{2}}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.9

Moltiplica $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{343}{2} - 27 \frac{7^{2}}{2^{2}} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.10

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{343}{2} - 27 \frac{49}{2^{2}} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{343}{2} - 27 (\frac{49}{4}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.12

Moltiplica $- 27 (\frac{49}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.12.1

$- 27$ e $\frac{49}{4}$ .

$- \frac{343}{2} + \frac{- 27 \cdot 49}{4} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.12.2

Moltiplica $- 27$ per $49$ .

$- \frac{343}{2} + \frac{- 1323}{4} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{343}{2} - \frac{1323}{4} - 336 (- \frac{7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.14.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{2}$ nel numeratore.

$- \frac{343}{2} - \frac{1323}{4} - 336 (\frac{- 7}{2}) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.14.2

Scomponi $2$ da $- 336$ .

$- \frac{343}{2} - \frac{1323}{4} + 2 (- 168) \frac{- 7}{2} + 2$

Passaggio 4.1.2.1.14.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{343}{2} - \frac{1323}{4} + 2 \cdot - 168 \frac{- 7}{2} + 2$

Passaggio 4.1.2.1.14.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{343}{2} - \frac{1323}{4} - 168 \cdot - 7 + 2$

Passaggio 4.1.2.1.15

Moltiplica $- 168$ per $- 7$ .

$- \frac{343}{2} - \frac{1323}{4} + 1176 + 2$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{343}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{343}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{1323}{4} + 1176 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{343}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1323}{4} + 1176 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.3

Scrivi $1176$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1323}{4} + \frac{1176}{1} + 2$

Passaggio 4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{1176}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1323}{4} + \frac{1176}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{1176}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1323}{4} + \frac{1176 \cdot 4}{4} + 2$

Passaggio 4.1.2.2.6

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1323}{4} + \frac{1176 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.7

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1323}{4} + \frac{1176 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1323}{4} + \frac{1176 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.2.9

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{4} - \frac{1323}{4} + \frac{1176 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 343 \cdot 2 - 1323 + 1176 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $- 343$ per $2$ .

$\frac{- 686 - 1323 + 1176 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $1176$ per $4$ .

$\frac{- 686 - 1323 + 4704 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{- 686 - 1323 + 4704 + 8}{4}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Sottrai $1323$ da $- 686$ .

$\frac{- 2009 + 4704 + 8}{4}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Somma $- 2009$ e $4704$ .

$\frac{2695 + 8}{4}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Somma $2695$ e $8$ .

$\frac{2703}{4}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $8$ a $x$ .

$4 {(8)}^{3} - 27 {(8)}^{2} - 336 \cdot 8 + 2$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 512 - 27 {(8)}^{2} - 336 \cdot 8 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $512$ .

$2048 - 27 {(8)}^{2} - 336 \cdot 8 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$2048 - 27 \cdot 64 - 336 \cdot 8 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 27$ per $64$ .

$2048 - 1728 - 336 \cdot 8 + 2$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 336$ per $8$ .

$2048 - 1728 - 2688 + 2$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $1728$ da $2048$ .

$320 - 2688 + 2$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $2688$ da $320$ .

$- 2368 + 2$

Passaggio 4.2.2.2.3

Somma $- 2368$ e $2$ .

$- 2366$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{7}{2}, \frac{2703}{4}), (8, - 2366)$

Passaggio 5