Calcolo Esempi

$x^{6} e^{x} - 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{6} e^{x} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 0$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Somma $x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$ e $0$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i termini.

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$

Passaggio 1.1.4.3

Riordina i fattori in $e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ .

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{5} e^{x}$ da $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x^{5} e^{x}$ da $x^{6} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} (x) + 6 x^{5} e^{x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x^{5} e^{x}$ da $6 x^{5} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $x^{5} e^{x}$ da $x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6)$ .

$x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{5} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{5}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{5}$ uguale a $0$ .

$x^{5} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{5} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[5]{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.6

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$ vera.

$x = 0, - 6$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{6} e^{x} - 5$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{6} e^{0} - 5$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{0} - 5$

Passaggio 4.1.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 - 5$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 - 5$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$- 5$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 6$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 6$ a $x$ .

${(- 6)}^{6} e^{- 6} - 5$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $6$ .

$46656 e^{- 6} - 5$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$46656 \frac{1}{e^{6}} - 5$

Passaggio 4.2.2.3

$46656$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$\frac{46656}{e^{6}} - 5$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, - 5), (- 6, \frac{46656}{e^{6}} - 5)$

Passaggio 5