Calcolo Esempi

Trovare i Punti Critici x^4(x-1)^3
Passaggio 1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui è dove e .
Passaggio 1.1.2
Differenzia usando la regola della catena secondo cui è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.1.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.3
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.3.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.1.3.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.3.4
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.3.4.1
Somma e .
Passaggio 1.1.3.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.3.5
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.1.3.6
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.1.4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.1
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.1.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.4.1.2
Scomponi da .
Passaggio 1.1.4.1.3
Scomponi da .
Passaggio 1.1.4.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.1.4.3
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.4.4
Espandi usando il metodo FOIL.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.4.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.4.4.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.4.4.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.4.5
Semplifica e combina i termini simili.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.5.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.5.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.4.5.1.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.1.4.5.1.3
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.4.5.1.4
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.4.5.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.4.5.2
Sottrai da .
Passaggio 1.1.4.6
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.4.7
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.7.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.7.1.1
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.4.7.1.2
Somma e .
Passaggio 1.1.4.7.2
Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 1.1.4.7.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.4.8
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.8.1
Sposta .
Passaggio 1.1.4.8.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.8.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.4.8.2.2
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.4.8.3
Somma e .
Passaggio 1.1.4.9
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.9.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.4.9.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.4.10
Somma e .
Passaggio 1.1.4.11
Espandi moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.
Passaggio 1.1.4.12
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.12.1
Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 1.1.4.12.2
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.12.2.1
Sposta .
Passaggio 1.1.4.12.2.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.12.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.4.12.2.2.2
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.4.12.2.3
Somma e .
Passaggio 1.1.4.12.3
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.1.4.12.4
Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 1.1.4.12.5
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.12.5.1
Sposta .
Passaggio 1.1.4.12.5.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.12.5.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.4.12.5.2.2
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.4.12.5.3
Somma e .
Passaggio 1.1.4.12.6
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.4.12.7
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.4.12.8
Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 1.1.4.12.9
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.12.9.1
Sposta .
Passaggio 1.1.4.12.9.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.4.12.9.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.4.12.9.2.2
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.4.12.9.3
Somma e .
Passaggio 1.1.4.12.10
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.1.4.13
Sottrai da .
Passaggio 1.1.4.14
Somma e .
Passaggio 1.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 2
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 2.2
Scomponi il primo membro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1.1
Scomponi da .
Passaggio 2.2.1.2
Scomponi da .
Passaggio 2.2.1.3
Scomponi da .
Passaggio 2.2.1.4
Scomponi da .
Passaggio 2.2.1.5
Scomponi da .
Passaggio 2.2.1.6
Scomponi da .
Passaggio 2.2.1.7
Scomponi da .
Passaggio 2.2.2
Scomponi usando il teorema delle radici razionali.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.2.1
Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma , dove è un fattore della costante e è un fattore del coefficiente direttivo.
Passaggio 2.2.2.2
Trova ciascuna combinazione di . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.
Passaggio 2.2.2.3
Sostituisci e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a quindi è una radice del polinomio.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.2.3.1
Sostituisci nel polinomio.
Passaggio 2.2.2.3.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.2.3.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.2.3.5
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.2.3.6
Sottrai da .
Passaggio 2.2.2.3.7
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.2.3.8
Somma e .
Passaggio 2.2.2.3.9
Sottrai da .
Passaggio 2.2.2.4
Poiché è una radice nota, dividi il polinomio per per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.
Passaggio 2.2.2.5
Dividi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.2.5.1
Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di .
--+-
Passaggio 2.2.2.5.2
Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo per il termine di ordine più alto nel divisore .
--+-
Passaggio 2.2.2.5.3
Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.
--+-
+-
Passaggio 2.2.2.5.4
L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in
--+-
-+
Passaggio 2.2.2.5.5
Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.
--+-
-+
-
Passaggio 2.2.2.5.6
Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.
--+-
-+
-+
Passaggio 2.2.2.5.7
Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo per il termine di ordine più alto nel divisore .
-
--+-
-+
-+
Passaggio 2.2.2.5.8
Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.
-
--+-
-+
-+
-+
Passaggio 2.2.2.5.9
L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in
-
--+-
-+
-+
+-
Passaggio 2.2.2.5.10
Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.
-
--+-
-+
-+
+-
+
Passaggio 2.2.2.5.11
Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.
-
--+-
-+
-+
+-
+-
Passaggio 2.2.2.5.12
Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo per il termine di ordine più alto nel divisore .
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
Passaggio 2.2.2.5.13
Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
+-
Passaggio 2.2.2.5.14
L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
-+
Passaggio 2.2.2.5.15
Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
-+
Passaggio 2.2.2.5.16
Poiché il resto è , la risposta finale è il quoziente.
Passaggio 2.2.2.6
Scrivi come insieme di fattori.
Passaggio 2.2.3
Scomponi.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.1
Scomponi mediante raccoglimento.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.1.1
Scomponi mediante raccoglimento.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.1.1.1
Per un polinomio della forma , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è e la cui somma è .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.1.1.1.1
Scomponi da .
Passaggio 2.2.3.1.1.1.2
Riscrivi come più .
Passaggio 2.2.3.1.1.1.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.2.3.1.1.2
Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.1.1.2.1
Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.
Passaggio 2.2.3.1.1.2.2
Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.
Passaggio 2.2.3.1.1.3
Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, .
Passaggio 2.2.3.1.2
Rimuovi le parentesi non necessarie.
Passaggio 2.2.3.2
Rimuovi le parentesi non necessarie.
Passaggio 2.2.4
Raccogli gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.4.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.4.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.4.3
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.2.4.4
Somma e .
Passaggio 2.3
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 2.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 2.4.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.2.1
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 2.4.2.2
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 2.4.2.2.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.
Passaggio 2.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 2.5.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.5.2.1
Poni uguale a .
Passaggio 2.5.2.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.6
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.6.1
Imposta uguale a .
Passaggio 2.6.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.6.2.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.6.2.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.6.2.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 2.6.2.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.6.2.2.2.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.6.2.2.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.6.2.2.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 2.7
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 3
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 4
Risolvi per ciascun valore di dove la derivata è o indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Calcola per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Sostituisci a .
Passaggio 4.1.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 4.1.2.2
Sottrai da .
Passaggio 4.1.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 4.2
Calcola per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.2.1
Sostituisci a .
Passaggio 4.2.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.2.2.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 4.2.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.2.3
Sottrai da .
Passaggio 4.2.2.4
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 4.3
Calcola per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.1
Sostituisci a .
Passaggio 4.3.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.2.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 4.3.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.3.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.3.2.4
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 4.3.2.5
e .
Passaggio 4.3.2.6
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 4.3.2.7
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.2.7.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.3.2.7.2
Sottrai da .
Passaggio 4.3.2.8
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 4.3.2.9
Usa la regola della potenza per distribuire l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.2.9.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 4.3.2.9.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 4.3.2.10
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.3.2.11
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.3.2.12
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.3.2.13
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.2.13.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.3.2.13.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.3.2.13.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.4
Elenca tutti i punti.
Passaggio 5