Calcolo Esempi

$x^{2} e^{8 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{8 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x$ .

$x^{2} (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $8$ per $1$ .

$x^{2} (e^{8 x} \cdot 8) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $8$ alla sinistra di $e^{8 x}$ .

$x^{2} (8 \cdot e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (8 e^{8 x}) + e^{8 x} (2 x)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$ .

$f' (x) = 8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ .

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2 x e^{8 x}$ da $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 x e^{8 x}$ da $8 x^{2} e^{8 x}$ .

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2 x e^{8 x}$ da $2 x e^{8 x}$ .

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $2 x e^{8 x}$ da $2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1)$ .

$2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{8 x} = 0$

$4 x + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $e^{8 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $e^{8 x}$ uguale a $0$ .

$e^{8 x} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $e^{8 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{8 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{8 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.6

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $4 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 1$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{2} e^{8 x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{2} e^{8 (0)}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{8 (0)}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$0 e^{0}$

Passaggio 4.1.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \frac{1}{4}$ a $x$ .

${(- \frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ per $1$ .

$\frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 4.2.2.2.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{16} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$\frac{1}{16} e^{8 (\frac{- 1}{4})}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{1}{16} e^{4 (2) \frac{- 1}{4}}$

Passaggio 4.2.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{16} e^{4 \cdot 2 \frac{- 1}{4}}$

Passaggio 4.2.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{16} e^{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{16} e^{- 2}$

Passaggio 4.2.2.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 4.2.2.6

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{16 e^{2}}$

Passaggio 4.2.2.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{16 e^{2}}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (- \frac{1}{4}, \frac{1}{16 e^{2}})$

Passaggio 5