Calcolo Esempi

$y = 5 x^{3} - 3 x$ , $(1, 2)$

Passaggio 1

Scrivi $y = 5 x^{3} - 3 x$ come funzione.

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Passaggio 2

Verifica se il punto dato è sul grafico della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ con $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (1) = 5 - 3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (1) = 5 - 3$

Passaggio 2.1.2.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$f (1) = 2$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 2.2

Poiché $2 = 2$ , il punto si trova sul grafico.

Il punto è sul grafico

Passaggio 3

Il coefficiente angolare della tangente è la derivata dell'espressione.

$m$ $=$ La derivata di $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Passaggio 4

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 5

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.3.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.4

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Passaggio 5.1.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Passaggio 5.1.2.2

La risposta finale è $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Passaggio 5.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Passaggio 5.2.2

Sposta $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Passaggio 5.2.3

Sposta $- 3 x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 h - 3 x$

Passaggio 5.2.4

Sposta $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Passaggio 5.2.5

Sposta $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Passaggio 5.2.6

Riordina $15 h^{2} x$ e $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Passaggio 5.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Passaggio 6

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3} - 3 x)}{h}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3}) - (- 3 x)}{h}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} - (- 3 x)}{h}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} + 3 x}{h}$

Passaggio 7.1.4

Sottrai $5 x^{3}$ da $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

Passaggio 7.1.5

Somma $5 h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

Passaggio 7.1.6

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

Passaggio 7.1.7

Somma $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Passaggio 7.1.8

Scomponi $h$ da $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ .

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Passaggio 7.1.8.1

Scomponi $h$ da $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Passaggio 7.1.8.2

Scomponi $h$ da $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Passaggio 7.1.8.3

Scomponi $h$ da $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 3 h}{h}$

Passaggio 7.1.8.4

Scomponi $h$ da $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Passaggio 7.1.8.5

Scomponi $h$ da $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Passaggio 7.1.8.6

Scomponi $h$ da $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Passaggio 7.1.8.7

Scomponi $h$ da $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Passaggio 7.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$

Passaggio 7.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.2.2.1

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 3$

Passaggio 7.2.2.2

Sposta $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 3$

Passaggio 7.2.2.3

Riordina $15 x h$ e $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 3$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 9

Calcola il limite di $15 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 10

Sposta il termine $15 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 11

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 12

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 13

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 14

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

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Passaggio 14.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 14.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 15

Semplifica la risposta.

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Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Moltiplica $15 x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1.1

Moltiplica $0$ per $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 15.1.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 15.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

Passaggio 15.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 3$

Passaggio 15.2

Combina i termini opposti in $15 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Somma $15 x^{2}$ e $0$ .

$15 x^{2} + 0 - 3$

Passaggio 15.2.2

Somma $15 x^{2}$ e $0$ .

$15 x^{2} - 3$

Passaggio 16

Trova il coefficiente angolare $m$ . In questo caso $m = 12$ .

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Passaggio 16.1

Rimuovi le parentesi.

$m = 15 \cdot 1^{2} - 3$

Passaggio 16.2

Semplifica $15 \cdot 1^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$m = 15 \cdot 1 - 3$

Passaggio 16.2.1.2

Moltiplica $15$ per $1$ .

$m = 15 - 3$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $3$ da $15$ .

$m = 12$

Passaggio 17

Il coefficiente angolare è $m = 12$ e il punto è $(1, 2)$ .

$m = 12, (1, 2)$

Passaggio 18

Trova il valore di $b$ usando la formula per l'equazione di una retta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Per trovare $b$ , utilizza la formula dell'equazione di una linea.

$y = m x + b$

Passaggio 18.2

Sostituisci il valore di $m$ nell'equazione.

$y = (12) \cdot x + b$

Passaggio 18.3

Sostituisci il valore di $x$ nell'equazione.

$y = (12) \cdot (1) + b$

Passaggio 18.4

Sostituisci il valore di $y$ nell'equazione.

$2 = (12) \cdot (1) + b$

Passaggio 18.5

Trova il valore di $b$ .

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Passaggio 18.5.1

Riscrivi l'equazione come $(12) \cdot (1) + b = 2$ .

$(12) \cdot (1) + b = 2$

Passaggio 18.5.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + b = 2$

Passaggio 18.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 18.5.3.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = 2 - 12$

Passaggio 18.5.3.2

Sottrai $12$ da $2$ .

$b = - 10$

Passaggio 19

Ora che i valori di $m$ (pendenza) e $b$ (intercetta di y) sono noti, sostituiscili in $y = m x + b$ per trovare l'equazione della retta.

$y = 12 x - 10$

Passaggio 20