Calcolo Esempi

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Passaggio 1.2

Semplifica $\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

Passaggio 1.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

Passaggio 1.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = x \sqrt{x + 3}$

Passaggio 1.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Passaggio 1.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y'$

Passaggio 3.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Passaggio 3.5

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Passaggio 3.5.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Passaggio 3.5.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y, y, 1$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2 y, y, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $2, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}, y^{1}$ .

Passaggio 4.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 4.1.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 4.1.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 4.1.6

Il minimo comune multiplo di $2, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 4.1.7

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 4.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}, y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 4.1.9

Il minimo comune multiplo di $2 y, y, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 y$

Passaggio 4.2

Moltiplica per $2 y$ ciascun termine in $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ per $2 y$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $2 \frac{3 x}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

$2$ e $\frac{3 x}{y}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $0 (2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $0$ per $y$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Passaggio 4.3.1.2

Scomponi $3 x$ da $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Passaggio 4.3.1.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Passaggio 4.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.3.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.3.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $0$ e $3$ .

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $0$ per $\sqrt{3}$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $- 2$ e $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

Passaggio 6.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (- 2) = - 2$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $- 2$ e $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

Passaggio 7.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 2) = 2$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

Passaggio 9