Calcolo Esempi

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.7

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

Passaggio 1.2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

Passaggio 1.2.11.2

Moltiplica $x^{2} - 8 x + 7$ per $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.4.6

Sposta $- 8$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.4.7

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.4.8

Sottrai $8 x$ da $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.4.9

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

Passaggio 1.3.4.10

Sottrai $8 x$ da $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

Passaggio 1.3.4.11

Somma $8$ e $7$ .

$3 x^{2} - 18 x + 15$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 18 x + 15$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $3$ da $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $3$ da $15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Passaggio 2.1.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Passaggio 2.1.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi.

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x + 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 5, - 1$

Passaggio 2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 5, 1$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ con $x = 5$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $5$ .

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $- 8$ per $5$ .

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $40$ da $25$ .

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $- 15$ e $7$ .

$f (5) = 4 \cdot - 8$

Passaggio 3.2.3.3

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$f (5) = - 32$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è $- 32$ .

$- 32$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ con $x = 1$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $8$ da $1$ .

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $- 7$ e $7$ .

$f (1) = 0 \cdot 0$

Passaggio 4.2.3.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ sono $y = - 32, y = 0$ .

$y = - 32, y = 0$

Passaggio 6