Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 1.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Passaggio 1.4.2.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 1.4.2.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $2 \cos (x)$ da $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.4.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.4.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $\sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 2.5.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 2.5.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.5.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.5.2.7

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 2.5.2.7.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ con $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1^{2}$

Passaggio 3.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Passaggio 3.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ con $x = \frac{π}{2} + π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2} + π$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2.1.4.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2.1.7

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \cdot - 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2.1.7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2.1.8

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 4.2.1.9

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Passaggio 4.2.1.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Passaggio 4.2.1.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.11.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Passaggio 4.2.1.11.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 4.2.1.12

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Passaggio 4.2.1.13

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + 1$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 5

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ è $y = 3, y = - 1$ .

$y = 3, y = - 1$

Passaggio 6