Calcolo Esempi

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 1) (x - 1))]$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Passaggio 1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 (x^{2} - 2 x + 1)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Passaggio 1.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (2 x - 2 + 0)$

Passaggio 1.11

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$2 (2 x - 2)$

Passaggio 1.12

Semplifica.

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Passaggio 1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 x) + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.12.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.12.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.12.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 x - 4$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x - 4 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 4$

Passaggio 2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 4$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi $4$ per $4$ .

$x = 1$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ con $x = 1$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 {((1) - 1)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = 2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 3.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (1) = 2 \cdot 0$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ è $y = 0$ .

$y = 0$

Passaggio 5