Calcolo Esempi

$f (x) = x e^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i fattori in $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.3.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.3.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.4

Imposta $- x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $- x + 1$ uguale a $0$ .

$- x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $- x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- x} (- x + 1) = 0$ vera.

$x = 1$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = x e^{- x}$ con $x = 1$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $e^{- (1)}$ per $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Passaggio 4

La tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = x e^{- x}$ è $y = \frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Passaggio 5