Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 6 x$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$3 x^{2} - 6$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 6 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 6$

Passaggio 2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 6$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 6$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{3}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Dividi $6$ per $3$ .

$x^{2} = 2$

Passaggio 2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} - 6 x$ con $x = \sqrt{2}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{3} - 6 \sqrt{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{3}} - 6 \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{8} - 6 \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 3.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4 (2)} - 6 \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $6 \sqrt{2}$ da $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} - 6 x$ con $x = - \sqrt{2}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{3}} - 6 (- \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{8} - 6 (- \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.1.5

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4 (2)} - 6 (- \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 (- \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \sqrt{2}) = - (2 \sqrt{2}) - 6 (- \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.1.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} - 6 (- \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 2 \sqrt{2}$ e $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x^{3} - 6 x$ sono $y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$ .

$y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$

Passaggio 6