Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 9$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$- x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 9$

Passaggio 2.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 9$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 9$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.2.3.1

Dividi $- 9$ per $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 2.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 2.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 2.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 2.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ con $x = 3$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{3}{{(3)}^{2} + 9}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = \frac{3}{9 + 9}$

Passaggio 3.2.1.2

Somma $9$ e $9$ .

$f (3) = \frac{3}{18}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $18$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (3) = \frac{3 (1)}{18}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Passaggio 3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (3) = \frac{1}{6}$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ con $x = - 3$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{- 3}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{9 + 9}$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $9$ e $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{18}$

Passaggio 4.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1)}{18}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$f (- 3) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 3) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Passaggio 4.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 3) = \frac{- 1}{6}$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 3) = - \frac{1}{6}$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ sono $y = \frac{1}{6}, y = - \frac{1}{6}$ .

$y = \frac{1}{6}, y = - \frac{1}{6}$

Passaggio 6