Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$- x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 1$

Passaggio 2.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.2.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ con $x = 1$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

Passaggio 3.2.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ con $x = - 1$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ sono $y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6