Calcolo Esempi

$x^{2} + 4 y^{2} = 36$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y^{2} = 36 - x^{2}$

Passaggio 1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y^{2} = 36 - x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y^{2} = 36 - x^{2}$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi $36$ per $4$ .

$y^{2} = 9 + \frac{- x^{2}}{4}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = 9 - \frac{x^{2}}{4}$

Passaggio 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}$

Passaggio 1.4

Semplifica $\pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Passaggio 1.4.1.2

Riscrivi $\frac{x^{2}}{4}$ come ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.4.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.4.4

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 2 + x}{2} (3 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (3 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.4.7

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.4.8

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 - x}{2}}$

Passaggio 1.4.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} \cdot \frac{6 - x}{2}}$

Passaggio 1.4.11

Moltiplica $\frac{6 + x}{2}$ per $\frac{6 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.4.12

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{4}}$

Passaggio 1.4.13

Riscrivi $\frac{(6 + x) (6 - x)}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((6 + x) (6 - x))$ .

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Passaggio 1.4.13.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(6 + x) (6 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{4}}$

Passaggio 1.4.13.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 1.4.13.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((6 + x) (6 - x))}$

Passaggio 1.4.14

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

Passaggio 1.4.15

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Passaggio 1.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Passaggio 1.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Passaggio 1.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 4 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 4 (2 y y')$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$2 x + 8 y y'$

Passaggio 3.2.3

Riordina i termini.

$8 y y' + 2 x$

Passaggio 3.3

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$8 y y' + 2 x = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 3.5.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 y y' = - 2 x$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $8 y$ ciascun termine in $8 y y' = - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $8 y$ ciascun termine in $8 y y' = - 2 x$ .

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Passaggio 3.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{8 y}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{8 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $8 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x}{4 y}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $6$ e $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 (6 - (0))}}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 (6 + 0)}}{2}$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $6$ e $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 \cdot 6}}{2}$

Passaggio 5.2.2.4

Moltiplica $6$ per $6$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{36}}{2}$

Passaggio 5.2.2.5

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6^{2}}}{2}$

Passaggio 5.2.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = \frac{6}{2}$

Passaggio 5.2.3

Dividi $6$ per $2$ .

$f (0) = 3$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $6$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 (6 - (0))}}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 (6 + 0)}}{2}$

Passaggio 6.2.2.3

Somma $6$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 6}}{2}$

Passaggio 6.2.2.4

Moltiplica $6$ per $6$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{36}}{2}$

Passaggio 6.2.2.5

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6^{2}}}{2}$

Passaggio 6.2.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = - \frac{6}{2}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi $6$ per $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 3$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (0) = - 3$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 7

The horizontal tangent lines are $y = 3, y = - 3$

$y = 3, y = - 3$

Passaggio 8