Calcolo Esempi

$y = x + \cos (x)$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x + \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 - \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = - 1$

Passaggio 3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 3.6.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x + \cos (x)$ con $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = x + \cos (x)$ con $x = \frac{π}{2} + 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2} + 2 π$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = (\frac{π}{2} + 2 π) + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scrivi $2 π$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $\frac{2 π}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $\frac{2 π}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Passaggio 5.2.1.4

Scrivi $\cos (\frac{π}{2} + 2 π)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 2 π \cdot 2 + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.3.3

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 4 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.3.5.2

Somma $π$ e $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{5 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.3.6

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2}) \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.3.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.3.8

Moltiplica $0$ per $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $π$ e $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π + 0}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $5 π$ e $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π}{2}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $\frac{5 π}{2}$ .

$\frac{5 π}{2}$

Passaggio 6

La tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = x + \cos (x)$ è $y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$

Passaggio 7