Calcolo Esempi

$y = 5 x - x^{2}$

Passaggio 1

Riordina $5 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5 x$

Passaggio 2

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 5 x$

Passaggio 3

Trova la derivata.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x + 5 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 2 x + 5$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x + 5 = 0$ .

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Passaggio 4.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 5$

Passaggio 4.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 5$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 5$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = - x^{2} + 5 x$ con $x = \frac{5}{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{5}{2}) = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (\frac{5}{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + 5 (\frac{5}{2})$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $5 (\frac{5}{2})$ .

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Passaggio 5.2.1.4.1

$5$ e $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{5 \cdot 5}{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2}$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $\frac{25}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $\frac{25}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{4}$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2}{4}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $25$ per $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50}{4}$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $- 25$ e $50$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4}$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $\frac{25}{4}$ .

$\frac{25}{4}$

Passaggio 6

La tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = - x^{2} + 5 x$ è $y = \frac{25}{4}$ .

$y = \frac{25}{4}$

Passaggio 7