Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 14 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 14$ .

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ e la cui somma è $b = - 28$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $- 28$ da $- 28 x$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi $- 28$ come $- 1$ più $- 27$ .

$3 x^{2} + (- 1 - 27) x + 9 = 0$

Passaggio 3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 27 x + 9 = 0$

Passaggio 3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 1 x) - 27 x + 9 = 0$

Passaggio 3.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 1) - 9 (3 x - 1) = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 9) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.4

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (x - 9) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, 9$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ con $x = \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 (\frac{1}{9}) + 9 (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.1.7

$- 14$ e $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.1.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.9.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 (3) (\frac{1}{3})$

Passaggio 4.2.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 \cdot (3 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 4.2.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3$

Passaggio 4.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{14}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $\frac{14}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 3$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi $3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.2.6

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.2.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 14 \cdot 3 + 3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $- 14$ per $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $3$ per $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 81}{27}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $42$ da $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 41 + 81}{27}$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $- 41$ e $81$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ con $x = 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f (9) = {(9)}^{3} - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f (9) = 729 - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f (9) = 729 - 14 \cdot 81 + 9 (9)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 14$ per $81$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 9 (9)$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 81$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $1134$ da $729$ .

$f (9) = - 405 + 81$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 405$ e $81$ .

$f (9) = - 324$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 324$ .

$- 324$

Passaggio 6

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ sono $y = \frac{40}{27}, y = - 324$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 324$

Passaggio 7