Calcolo Esempi

$y = x + \sin (x y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sin (x y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Passaggio 3.3.2

Riordina i termini.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

Passaggio 5.2

Sottrai $x y' \cos (x y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $y' - x y' \cos (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $1 - x \cos (x y)$ ciascun termine in $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $1 - x \cos (x y)$ ciascun termine in $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x \cos (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Passaggio 7

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y \cos (x y) = - 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \cos (x y) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \cos (x y) = - 1$ .

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x y)$ per $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

Passaggio 7.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

Passaggio 7.2.4

Dividi per $y$ ciascun termine in $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Passaggio 7.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Passaggio 7.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica $(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

Passaggio 8.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

Passaggio 8.1.1.2

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ , $(- \frac{1}{y}, 0)$ e l'origine. Poi $\arccos (- \frac{1}{y})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ . Perciò, $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ è $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Passaggio 8.1.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Passaggio 8.1.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = - \frac{1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

Passaggio 8.1.1.5

Moltiplica $- - \frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

Passaggio 8.1.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Passaggio 8.1.1.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Passaggio 8.1.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

Passaggio 8.1.1.8

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

Passaggio 8.1.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

Passaggio 8.1.1.10

Moltiplica $\frac{y - 1}{y}$ per $\frac{y + 1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

Passaggio 8.1.1.11

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

Passaggio 8.1.1.12

Riscrivi $\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ come ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.12.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(y - 1) (y + 1)$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

Passaggio 8.1.1.12.2

Scomponi la potenza perfetta $y^{2}$ su $y^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 8.1.1.12.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

Passaggio 8.1.1.13

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

Passaggio 8.1.1.14

$\frac{1}{y}$ e $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Passaggio 8.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Passaggio 8.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$y \approx 1.94368519$

Passaggio 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Rimuovi le parentesi.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Dividi $1$ per $1.94368519$ .

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0.5144866$ .

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

Passaggio 9.2.1.3

Calcola $\arccos (- 0.5144866)$ .

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

Passaggio 9.2.2

Dividi $2.11120515$ per $1.94368519$ .

$x = 1.08618677$

Passaggio 10

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(1.08618677, 1.94368519)$

Passaggio 11