Calcolo Esempi

$x^{2} + x y = 10$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y) = \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x + x y' + y$

Passaggio 2.3

Riordina i termini.

$x y' + 2 x + y$

Passaggio 3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + 2 x + y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + y = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' = - 2 x - y$

Passaggio 5.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y' = - 2 x - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y' = - 2 x - y$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$y' = - 2 + \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - 2 - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 - \frac{y}{x}$

Passaggio 7

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

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Passaggio 7.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y}{x} = 2$

Passaggio 7.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, 1$

Passaggio 7.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 7.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $- \frac{y}{x} = 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{y}{x} = 2$ per $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 2 x$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{x}$ nel numeratore.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Passaggio 7.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Passaggio 7.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- y = 2 x$

Passaggio 7.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Riscrivi l'equazione come $2 x = - y$ .

$2 x = - y$

Passaggio 7.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - y$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Passaggio 7.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Passaggio 7.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Passaggio 7.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{y}{2}$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 8.1.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Passaggio 8.1.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Passaggio 8.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Passaggio 8.1.1.3

Moltiplica $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Passaggio 8.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Passaggio 8.1.1.5

Moltiplica $(- \frac{y}{2}) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.5.1

$y$ e $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} = 10$

Passaggio 8.1.1.5.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} = 10$

Passaggio 8.1.1.5.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} = 10$

Passaggio 8.1.1.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} = 10$

Passaggio 8.1.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 10$

Passaggio 8.1.2

Per scrivere $- \frac{y^{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} = 10$

Passaggio 8.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.1.3.1

Moltiplica $\frac{y^{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} = 10$

Passaggio 8.1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Passaggio 8.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Passaggio 8.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} - y^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Passaggio 8.1.5.1.2

Scomponi $y^{2}$ da $- y^{2} \cdot 2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Passaggio 8.1.5.1.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Passaggio 8.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y^{2} (1 - 2)}{4} = 10$

Passaggio 8.1.5.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 1}{4} = 10$

Passaggio 8.1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.6.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2}}{4} = 10$

Passaggio 8.1.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y^{2}}{4} = 10$

Passaggio 8.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 \cdot 10$

Passaggio 8.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Semplifica $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y^{2}}{4}$ nel numeratore.

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.1.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - y^{2} = - 4 \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y^{2} = - 4 \cdot 10$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = - 4 \cdot 10$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$y^{2} = - 40$

Passaggio 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 40}$

Passaggio 8.5

Semplifica $\pm \sqrt{- 40}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Riscrivi $- 40$ come $- 1 (40)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (40)}$

Passaggio 8.5.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (40)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$

Passaggio 8.5.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{40}$

Passaggio 8.5.4

Riscrivi $40$ come $2^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.4.1

Scomponi $4$ da $40$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}$

Passaggio 8.5.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Passaggio 8.5.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{10})$

Passaggio 8.5.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$y = \pm 2 i \sqrt{10}$

Passaggio 8.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = 2 i \sqrt{10}$

Passaggio 8.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - 2 i \sqrt{10}$

Passaggio 8.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = 2 i \sqrt{10}, - 2 i \sqrt{10}$

Passaggio 9

Solve for $x$ when $y$ is $2 i \sqrt{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Passaggio 9.2.2

Dividi $i \sqrt{10}$ per $1$ .

$x = - (i \sqrt{10})$

$x = - i \sqrt{10}$

Passaggio 10

Semplifica $- \frac{- 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 i \sqrt{10}$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2}$

Passaggio 10.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 (1)}$

Passaggio 10.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 10.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{- i \sqrt{10}}{1}$

Passaggio 10.1.2.4

Dividi $- i \sqrt{10}$ per $1$ .

$x = - (- i \sqrt{10})$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- (- i \sqrt{10})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1 (i \sqrt{10})$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $\sqrt{10}$ per $1$ .

$x = \sqrt{10} i$

Passaggio 11

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- i \sqrt{10}, 2 i \sqrt{10})$

$(\sqrt{10} i, - 2 i \sqrt{10})$

Passaggio 12