Calcolo Esempi

$x^{6} = \cot (y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{6}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\cot (u)$ rispetto a $u$ è $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 x^{5} = - \csc^{2} (y) y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ .

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$

Passaggio 5.2

Dividi per $- \csc^{2} (y)$ ciascun termine in $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $- \csc^{2} (y)$ ciascun termine in $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $\csc^{2} (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Passaggio 7

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

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Passaggio 7.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$6 x^{5} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x^{5} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x^{5} = 0$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 7.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Passaggio 7.2.1.2.1.2

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Passaggio 7.2.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.1.3.1

Dividi $0$ per $6$ .

$x^{5} = 0$

Passaggio 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Passaggio 7.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $\cot (y) = 0^{6}$ .

$\cot (y) = 0^{6}$

Passaggio 8.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\cot (y) = 0$

Passaggio 8.3

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$y = arccot (0)$

Passaggio 8.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.4.1

Il valore esatto di $arccot (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.5

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$y = π + \frac{π}{2}$

Passaggio 8.6

Semplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 8.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 8.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.6.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 8.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 8.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.6.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$y = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Passaggio 8.6.3.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.7

Trova il periodo di $\cot (y)$ .

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Passaggio 8.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 8.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 8.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 8.7.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 8.8

Il periodo della funzione $\cot (y)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$y = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.9

Consolida le risposte.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, \frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 10