Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 12 x$ , $(0, 4)$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 12 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 12$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 12$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 12$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $12$ per $3$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 1.2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 1.2.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 1.2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{3} - 12 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 12 \cdot 2$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$8 - 24$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sottrai $24$ da $8$ .

$- 16$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 - 12 \cdot - 2$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $- 2$ .

$- 8 + 24$

Passaggio 1.4.2.2.2

Somma $- 8$ e $24$ .

$16$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(2, - 16), (- 2, 16)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(2, - 16)$

Passaggio 3

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 3.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 3.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 12$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 12$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $12$ da $48$ .

$f' (- 4) = 36$

Passaggio 3.2.2.3

La risposta finale è $36$ .

$36$

Passaggio 3.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 12$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$f' (0) = - 12$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 3.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 12$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (4) = 48 - 12$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $12$ da $48$ .

$f' (4) = 36$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $36$ .

$36$

Passaggio 3.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - 2$ , allora $x = - 2$ è un massimo locale.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 3.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 2$ , allora $x = 2$ è un minimo locale.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 3.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} - 12 x$ .

$x = - 2$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

$x = - 2$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Nessun massimo assoluto

Minimo assoluto: $(2, - 16)$

Passaggio 5