Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 21 x^{2} - 48 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 21 x^{2} - 48 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 21$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 21 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 21$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} - 42 x - 48$ .

$6 x^{2} - 42 x - 48$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} - 42 x - 48 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} - 42 x - 48 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} - 42 x - 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 42 x - 48 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $6$ da $- 42 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 7 x) - 48 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $6$ da $- 48$ .

$6 x^{2} + 6 (- 7 x) + 6 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (- 7 x)$ .

$6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot - 8$ .

$6 (x^{2} - 7 x - 8) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 7 x - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 8, 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$6 ((x - 8) (x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 8) (x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 8) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 8, - 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $8, - 1$ .

$8, - 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 8) \cup (8, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} - 42 \cdot - 2 - 48$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 - 42 \cdot - 2 - 48$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f' (- 2) = 24 - 42 \cdot - 2 - 48$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 42$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 + 84 - 48$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $24$ e $84$ .

$f' (- 2) = 108 - 48$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $48$ da $108$ .

$f' (- 2) = 60$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $60$ .

$60$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $60$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 8)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = 6 {(\frac{7}{2})}^{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{49}{2^{2}}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{49}{4}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 2 (3) (\frac{49}{4}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{49}{2 \cdot 2})) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{7}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{49}{2 \cdot 2})) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = 3 (\frac{49}{2}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2.1.5

$3$ e $\frac{49}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{3 \cdot 49}{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $3$ per $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.1

Scomponi $2$ da $- 42$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + 2 (- 21) (\frac{7}{2}) - 48$

Passaggio 6.2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + 2 \cdot (- 21 (\frac{7}{2})) - 48$

Passaggio 6.2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 21 \cdot 7 - 48$

Passaggio 6.2.1.8

Moltiplica $- 21$ per $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 147 - 48$

Passaggio 6.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scrivi $- 147$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147}{1} - 48$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 147}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147}{1} \cdot \frac{2}{2} - 48$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 147}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} - 48$

Passaggio 6.2.2.4

Scrivi $- 48$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48}{1}$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 48}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 48}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 147 \cdot 2 - 48 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $- 147$ per $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 294 - 48 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $- 48$ per $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 294 - 96}{2}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Sottrai $294$ da $147$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 147 - 96}{2}$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai $96$ da $- 147$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 243}{2}$

Passaggio 6.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{243}{2}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $- \frac{243}{2}$ .

$- \frac{243}{2}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{7}{2}$ la derivata è $- \frac{243}{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 8)$ .

Decrescente su $(- 1, 8)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(8, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f' (9) = 6 {(9)}^{2} - 42 \cdot 9 - 48$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f' (9) = 6 \cdot 81 - 42 \cdot 9 - 48$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $6$ per $81$ .

$f' (9) = 486 - 42 \cdot 9 - 48$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 42$ per $9$ .

$f' (9) = 486 - 378 - 48$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $378$ da $486$ .

$f' (9) = 108 - 48$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $48$ da $108$ .

$f' (9) = 60$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $60$ .

$60$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 9$ la derivata è $60$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(8, \infty)$ .

Crescente su $(8, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 1), (8, \infty)$

Decrescente su: $(- 1, 8)$

Passaggio 9