Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{x + 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 2}$ come ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.12.2

Moltiplica $\frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.14

Moltiplica ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.15

Per scrivere ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.16

${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18

Moltiplica ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.18.1

Sposta ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.19

Semplifica ${(x + 2)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.20

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 2)}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.21.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21.2.2

Somma $x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 4$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 2}$ come ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 (x + 2) = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$4 x + 8 = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x + 8 = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 8$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 8$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 4.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.3.1

Dividi $- 8$ per $4$ .

$x = - 2$

Passaggio 4.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 2}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 2 < 0$

Passaggio 4.5

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < - 2$

Passaggio 4.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = \frac{3 (- 3) + 4}{2 {((- 3) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 9 + 4}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Somma $- 9$ e $4$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 3$ e $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.2

Riscrivi ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

Passaggio 6.2.2.3

Calcola l'esponente.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

Passaggio 6.2.2.4

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{- 5}{2 i}$ per il coniugato di $2 i$ per rendere il denominatore reale.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Combina.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i i}$

Passaggio 6.2.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Aggiungi le parentesi.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Passaggio 6.2.4.2.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Passaggio 6.2.4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{1 + 1}}$

Passaggio 6.2.4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{2}}$

Passaggio 6.2.4.2.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{- 2}$

Passaggio 6.2.6

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$f' (- 3) = \frac{5 i}{2}$

Passaggio 6.2.7

La risposta finale è $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{5 i}{2}$

Passaggio 6.3

Con $x = - 3$ la derivata è $\frac{5 i}{2}$ . Poiché contiene un numero immaginario, la funzione non esiste su $(- \infty, - 2)$ .

La funzione non è reale su $(- \infty, - 2)$ poiché $f' (x)$ è immaginario

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, - \frac{4}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.6666667$ nell'espressione.

$f' (- 1.6666667) = \frac{3 (- 1.6666667) + 4}{2 {((- 1.6666667) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 5.0000001 + 4}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Somma $- 5.0000001$ e $4$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 1.6666667$ e $2$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.3333333}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.2

Riscrivi $0.3333333$ come ${0.57735024}^{2}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {({0.57735024}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 7.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 7.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

Passaggio 7.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0.57735024$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{1.15470048}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $- 1.0000001$ per $1.15470048$ .

$f' (- 1.6666667) = - 0.86602553$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 0.86602553$ .

$- 0.86602553$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1.6666667$ la derivata è $- 0.86602553$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 2, - \frac{4}{3})$ .

Decrescente su $(- 2, - \frac{4}{3})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{4}{3}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.3333334$ nell'espressione.

$f' (- 0.3333334) = \frac{3 (- 0.3333334) + 4}{2 {((- 0.3333334) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 0.3333334$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{- 1.0000002 + 4}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Somma $- 1.0000002$ e $4$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $- 0.3333334$ e $2$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.6666666}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.2

Riscrivi $1.6666666$ come ${1.29099442}^{2}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {({1.29099442}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 8.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 8.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

Passaggio 8.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1.29099442$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2.58198884}$

Passaggio 8.2.3.2

Dividi $2.9999998$ per $2.58198884$ .

$f' (- 0.3333334) = 1.16189494$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $1.16189494$ .

$1.16189494$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = - 0.3333334$ la derivata è $1.16189494$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \frac{4}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(- \frac{4}{3}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \frac{4}{3}, \infty)$

Decrescente su: $(- 2, - \frac{4}{3})$

Passaggio 10