Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{4} + 32 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32 x^{3}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $32$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 96 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x^{3} + 96 x^{2}$ .

$24 x^{3} + 96 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $24 x^{2}$ da $24 x^{3} + 96 x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $24 x^{2}$ da $24 x^{3}$ .

$24 x^{2} (x) + 96 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $24 x^{2}$ da $96 x^{2}$ .

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $24 x^{2}$ da $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4)$ .

$24 x^{2} (x + 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $24 x^{2} (x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 4$ .

$0, - 4$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = 24 {(- 5)}^{3} + 96 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 5) = 24 \cdot - 125 + 96 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $24$ per $- 125$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 96 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 96 \cdot 25$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $96$ per $25$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 2400$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 3000$ e $2400$ .

$f' (- 5) = - 600$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 600$ .

$- 600$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 5$ la derivata è $- 600$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 4)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 24 {(- 2)}^{3} + 96 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = 24 \cdot - 8 + 96 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $24$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 + 96 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - 192 + 96 \cdot 4$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $96$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 192 + 384$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 192$ e $384$ .

$f' (- 2) = 192$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $192$ .

$192$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $192$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 4, 0)$ .

Crescente su $(- 4, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 96 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 96 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f' (1) = 24 + 96 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 24 + 96 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $96$ per $1$ .

$f' (1) = 24 + 96$

Passaggio 7.2.2

Somma $24$ e $96$ .

$f' (1) = 120$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $120$ .

$120$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $120$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 4, 0), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 4)$

Passaggio 9