Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{\frac{4}{7}} - x^{\frac{5}{7}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{\frac{4}{7}} - x^{\frac{5}{7}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{7}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{5}{7}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{7}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{\frac{4}{7}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{7}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 1 \cdot 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $7$ da $4$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{- 3}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.8

$\frac{4}{7}$ e $x^{- \frac{3}{7}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.9

$5$ e $\frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}$ .

$f' (x) = \frac{5 (4 x^{- \frac{3}{7}})}{7} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f' (x) = \frac{20 x^{- \frac{3}{7}}}{7} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.2.11

Sposta $x^{- \frac{3}{7}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{5}{7}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{5}{7}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{7}}]$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{7}}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{7}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1})$

Passaggio 1.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Passaggio 1.1.3.4

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Passaggio 1.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 1 \cdot 7}{7}})$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 7}{7}})$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $7$ da $5$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{- 2}{7}})$

Passaggio 1.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{- \frac{2}{7}})$

Passaggio 1.1.3.8

$\frac{5}{7}$ e $x^{- \frac{2}{7}}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 x^{- \frac{2}{7}}}{7}$

Passaggio 1.1.3.9

Sposta $x^{- \frac{2}{7}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ .

$\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$7 x^{\frac{3}{7}}, 7 x^{\frac{2}{7}}, 1$

Passaggio 2.2.2

Since $7 x^{\frac{3}{7}}, 7 x^{\frac{2}{7}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $7, 7, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{3}{7}}, x^{\frac{2}{7}}$ .

Passaggio 2.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.2.4

Poiché $7$ non presenta fattori eccetto $1$ e $7$ .

$7$ è un numero primo

Passaggio 2.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.2.6

Il minimo comune multiplo di $7, 7, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$7$

Passaggio 2.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{3}{7}}, x^{\frac{2}{7}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.2.8

Il minimo comune multiplo di $7 x^{\frac{3}{7}}, 7 x^{\frac{2}{7}}, 1$ è la parte numerica $7$ moltiplicata per la parte variabile.

$7 x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $7 x^{\frac{3}{7}}$ ciascun termine in $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$ per $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$7 \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$7 \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{20}{x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{3}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20}{x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$20 - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{2}{7}} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ nel numeratore.

$20 + \frac{- 5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Scomponi $x^{\frac{2}{7}} \cdot 7$ da $7 x^{\frac{2}{7}}$ .

$20 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 (1)} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.2.1.4.3

Scomponi $x^{\frac{2}{7}} \cdot 7$ da $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$20 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 (1)} (x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 (x^{\frac{1}{7}})) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.2.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$20 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 \cdot 1} (x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 x^{\frac{1}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.2.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$20 - 5 x^{\frac{1}{7}} = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0 (7 x^{\frac{3}{7}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$20 - 5 x^{\frac{1}{7}} = 0 x^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{3}{7}}$ .

$20 - 5 x^{\frac{1}{7}} = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 x^{\frac{1}{7}} = - 20$

Passaggio 2.4.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $7$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(- 5 x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 20)}^{7}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Semplifica ${(- 5 x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 5 x^{\frac{1}{7}}$ .

${(- 5)}^{7} {(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 20)}^{7}$

Passaggio 2.4.3.1.1.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $7$ .

$- 78125 {(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 20)}^{7}$

Passaggio 2.4.3.1.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 78125 x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 20)}^{7}$

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 78125 x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 20)}^{7}$

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 78125 x^{1} = {(- 20)}^{7}$

Passaggio 2.4.3.1.1.4

Semplifica.

$- 78125 x = {(- 20)}^{7}$

Passaggio 2.4.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Eleva $- 20$ alla potenza di $7$ .

$- 78125 x = - 1280000000$

Passaggio 2.4.4

Dividi per $- 78125$ ciascun termine in $- 78125 x = - 1280000000$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Dividi per $- 78125$ ciascun termine in $- 78125 x = - 1280000000$ .

$\frac{- 78125 x}{- 78125} = \frac{- 1280000000}{- 78125}$

Passaggio 2.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 78125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 78125 x}{- 78125} = \frac{- 1280000000}{- 78125}$

Passaggio 2.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1280000000}{- 78125}$

Passaggio 2.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.3.1

Dividi $- 1280000000$ per $- 78125$ .

$x = 16384$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $16384$ .

$16384$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{20}{7 \sqrt[7]{x^{3}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{20}{7 \sqrt[7]{x^{3}}} - \frac{5}{7 \sqrt[7]{x^{2}}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{20}{7 \sqrt[7]{x^{3}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$7 \sqrt[7]{x^{3}} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $7$ potenza.

${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{7}}$ .

${(7 x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(7 x^{\frac{3}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$7^{7} {(x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $7$ .

$823543 {(x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 x^{\frac{3}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$823543 x^{\frac{3}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$823543 x^{3} = 0^{7}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$823543 x^{3} = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Dividi per $823543$ ciascun termine in $823543 x^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Dividi per $823543$ ciascun termine in $823543 x^{3} = 0$ .

$\frac{823543 x^{3}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $823543$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{823543 x^{3}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Passaggio 4.3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{823543}$

Passaggio 4.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $823543$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 4.3.3.3

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 4.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 4.4

Imposta il denominatore in $\frac{5}{7 \sqrt[7]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$7 \sqrt[7]{x^{2}} = 0$

Passaggio 4.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $7$ potenza.

${(7 \sqrt[7]{x^{2}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{7}}$ .

${(7 x^{\frac{2}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Semplifica ${(7 x^{\frac{2}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $7 x^{\frac{2}{7}}$ .

$7^{7} {(x^{\frac{2}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $7$ .

$823543 {(x^{\frac{2}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Passaggio 4.5.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{7}})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 x^{\frac{2}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Passaggio 4.5.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$823543 x^{\frac{2}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Passaggio 4.5.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$823543 x^{2} = 0^{7}$

Passaggio 4.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$823543 x^{2} = 0$

Passaggio 4.5.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Dividi per $823543$ ciascun termine in $823543 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.1

Dividi per $823543$ ciascun termine in $823543 x^{2} = 0$ .

$\frac{823543 x^{2}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Passaggio 4.5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $823543$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{823543 x^{2}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Passaggio 4.5.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{823543}$

Passaggio 4.5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.3.1

Dividi $0$ per $823543$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.5.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.5.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.5.3.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 16384) \cup (16384, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{7}$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{3}{7})}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{3}{7})}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 6.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{3}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{7 \cdot - 1} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{- 7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 6.2.1.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{7}$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{2}{7})}}$

Passaggio 6.2.1.4.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{2}{7})}}$

Passaggio 6.2.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 1) = \frac{- 20 - 5}{7}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sottrai $5$ da $- 20$ .

$f' (- 1) = \frac{- 25}{7}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = - \frac{25}{7}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{25}{7}$ .

$- \frac{25}{7}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- \frac{25}{7}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 16384)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8192$ nell'espressione.

$f' (8192) = \frac{20}{7 {(8192)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(8192)}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $- \frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8192^{\frac{1}{7}}}{8192^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{8192^{\frac{1}{7}}}{8192^{\frac{1}{7}}}$

Passaggio 7.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $\frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}}$ per $\frac{8192^{\frac{1}{7}}}{8192^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}} \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $8192^{\frac{2}{7}}$ per $8192^{\frac{1}{7}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Sposta $8192^{\frac{1}{7}}$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot (8192^{\frac{1}{7}} \cdot 8192^{\frac{2}{7}})}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{1}{7} + \frac{2}{7}}}$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{1 + 2}{7}}}$

Passaggio 7.2.3.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (8192) = \frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $\frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 8192$ la derivata è $\frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 16384)$ .

Decrescente su $(0, 16384)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(16384, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $16385$ nell'espressione.

$f' (16385) = \frac{20}{7 {(16385)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(16385)}^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 8.2.2

Per scrivere $- \frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16385^{\frac{1}{7}}}{16385^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{16385^{\frac{1}{7}}}{16385^{\frac{1}{7}}}$

Passaggio 8.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $\frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}}$ per $\frac{16385^{\frac{1}{7}}}{16385^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}} \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $16385^{\frac{2}{7}}$ per $16385^{\frac{1}{7}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Sposta $16385^{\frac{1}{7}}$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot (16385^{\frac{1}{7}} \cdot 16385^{\frac{2}{7}})}$

Passaggio 8.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{1}{7} + \frac{2}{7}}}$

Passaggio 8.2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{1 + 2}{7}}}$

Passaggio 8.2.3.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 8.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (16385) = \frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 8.2.5

La risposta finale è $\frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 16385$ la derivata è $\frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(16384, \infty)$ .

Decrescente su $(16384, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, 0), (0, 16384), (16384, \infty)$

Passaggio 10