Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - 8 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 x - 8 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$6 x - 24 x^{2}$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 24 x^{2} + 6 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 24 x^{2} + 6 x$ .

$- 24 x^{2} + 6 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 24 x^{2} + 6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 24 x^{2} + 6 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 6 x$ da $- 24 x^{2} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 6 x$ da $- 24 x^{2}$ .

$- 6 x (4 x) + 6 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $- 6 x$ da $6 x$ .

$- 6 x (4 x) - 6 x \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $- 6 x$ da $- 6 x (4 x) - 6 x (- 1)$ .

$- 6 x (4 x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $4 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $4 x - 1$ uguale a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $4 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 1$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 6 x (4 x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, \frac{1}{4}$ .

$0, \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - 24 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 24 \cdot 1 + 6 (- 1)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 24 + 6 (- 1)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 24 - 6$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $6$ da $- 24$ .

$f' (- 1) = - 30$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 30$ .

$- 30$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 30$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{1}{4})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.125$ nell'espressione.

$f' (0.125) = - 24 {(0.125)}^{2} + 6 (0.125)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.125$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.125) = - 24 \cdot 0.015625 + 6 (0.125)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 24$ per $0.015625$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 6 (0.125)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $6$ per $0.125$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 0.75$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 0.375$ e $0.75$ .

$f' (0.125) = 0.375$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.375$ .

$0.375$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0.125$ la derivata è $0.375$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \frac{1}{4})$ .

Crescente su $(0, \frac{1}{4})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{1}{4}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.25$ nell'espressione.

$f' (1.25) = - 24 {(1.25)}^{2} + 6 (1.25)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.25$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.25) = - 24 \cdot 1.5625 + 6 (1.25)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 24$ per $1.5625$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 6 (1.25)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $6$ per $1.25$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 7.5$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 37.5$ e $7.5$ .

$f' (1.25) = - 30$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 30$ .

$- 30$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1.25$ la derivata è $- 30$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{1}{4}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{1}{4}, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \frac{1}{4})$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (\frac{1}{4}, \infty)$

Passaggio 9