Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 16})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.5

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Passaggio 1.1.7

$2$ e $\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 32 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4.1.4

Moltiplica $- 32$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4.2

Combina i termini opposti in $4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.2.1

Sottrai $4 x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4.2.2

Somma $- 64 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.6.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.6.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$64 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $64$ ciascun termine in $64 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $64$ ciascun termine in $64 x = 0$ .

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{64}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $64$ .

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Imposta ${(x + 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Imposta ${(x + 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Risolvi ${(x + 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 4.2.3

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Risolvi ${(x - 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.2.3.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 4, 4$

Passaggio 4.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = - \frac{64 (- 5)}{{((- 5) + 4)}^{2} {((- 5) - 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $64$ per $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 5 + 4)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 5$ e $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $4$ da $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 9)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 {(- 9)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 \cdot 81}$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $81$ per $1$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{81}$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 5) = \frac{320}{81}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{320}{81}$ .

$\frac{320}{81}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 5$ la derivata è $\frac{320}{81}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 4)$ .

Crescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{64 (- 2)}{{((- 2) + 4)}^{2} {((- 2) - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $64$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{{(- 2 + 4)}^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 2$ e $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $4$ da $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 6)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 {(- 6)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 \cdot 36}$

Passaggio 7.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $4$ per $36$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{144}$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 128$ e $144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $16$ da $- 128$ .

$f' (- 2) = - \frac{16 (- 8)}{144}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $144$ .

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Passaggio 7.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Passaggio 7.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{9}$

Passaggio 7.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = \frac{8}{9}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $\frac{8}{9}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 4, 0)$ .

Crescente su $(- 4, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - \frac{64 (2)}{{((2) + 4)}^{2} {((2) - 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $64$ per $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $2$ e $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $36$ per $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{144}$

Passaggio 8.2.3.2

Elimina il fattore comune di $128$ e $144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Scomponi $16$ da $128$ .

$f' (2) = - \frac{16 (8)}{144}$

Passaggio 8.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $144$ .

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Passaggio 8.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Passaggio 8.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (2) = - \frac{8}{9}$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $- \frac{8}{9}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 4)$ .

Decrescente su $(0, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - \frac{64 (5)}{{((5) + 4)}^{2} {((5) - 4)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $64$ per $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{{(5 + 4)}^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Somma $5$ e $4$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} \cdot 1^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1^{2}}$

Passaggio 9.2.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $81$ per $1$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81}$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- \frac{320}{81}$ .

$- \frac{320}{81}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $- \frac{320}{81}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Decrescente su: $(0, 4), (4, \infty)$

Passaggio 11