Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [20]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $x^{2} - 6 x + 9$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $3$ .

$3$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f' (2) = 4 - 12 + 9$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $12$ da $4$ .

$f' (2) = - 8 + 9$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 8$ e $9$ .

$f' (2) = 1$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $1$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 3)$ .

Crescente su $(- \infty, 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 9$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 9$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f' (4) = 16 - 24 + 9$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $24$ da $16$ .

$f' (4) = - 8 + 9$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 8$ e $9$ .

$f' (4) = 1$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $1$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Passaggio 8