Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x}$ come ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 1.1.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 1.1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 1.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 1.1.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Passaggio 1.1.13.2

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.13.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(4 - x)}^{1}}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{4 - x} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x}$ come ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(4 - x)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 (4 - x) = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.6.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 + 4 (- x) = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$16 - 4 x = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$16 - 4 x = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x = - 16$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = - 16$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Passaggio 4.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 4}$

Passaggio 4.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.3.1

Dividi $- 16$ per $- 4$ .

$x = 4$

Passaggio 4.4

Imposta il radicando in $\sqrt{4 - x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 - x < 0$

Passaggio 4.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x < - 4$

Passaggio 4.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x < - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x < - 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x > 4$

Passaggio 4.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \sqrt{4 - x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - (3))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- \frac{1}{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 4)$ .

Decrescente su $(- \infty, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - (5))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.3

Riscrivi ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Passaggio 7.2.1.4

Calcola l'esponente.

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Passaggio 7.2.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 i}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{1}{2 i}$ per il coniugato di $2 i$ per rendere il denominatore reale.

$f' (5) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Combina.

$f' (5) = - \frac{1 i}{2 i i}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $i$ per $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 i i}$

Passaggio 7.2.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.3.1

Aggiungi le parentesi.

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Passaggio 7.2.3.3.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Passaggio 7.2.3.3.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Passaggio 7.2.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

Passaggio 7.2.3.3.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{- 2}$

Passaggio 7.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (5) = \frac{i}{2}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{i}{2}$ .

$\frac{i}{2}$

Passaggio 7.3

Con $x = 5$ la derivata è $\frac{i}{2}$ . Poiché contiene un numero immaginario, la funzione non esiste su $(4, \infty)$ .

La funzione non è reale su $(4, \infty)$ poiché $f' (x)$ è immaginario

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, 4)$

Passaggio 9