Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 4}$ come ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4))$

Passaggio 1.1.10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.11

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.1.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Passaggio 1.1.11.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Passaggio 1.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.11.4

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.11.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.1.2

Somma $1$ e $4$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = - \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Somma $1$ e $4$ .

$f' (1) = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0)$

Passaggio 8