Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5}{x + 5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{x + 5}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x + 5}$ come ${(x + 5)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$5 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 ({(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Passaggio 1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.5.2

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

$- 5$ e $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $5 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 5)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Poni $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{5}{x + 5}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 5)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = - \frac{5}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 6$ e $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi $5$ per $1$ .

$f' (- 6) = - 1 \cdot 5$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (- 6) = - 5$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 6$ la derivata è $- 5$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 5)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 5)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 5, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = - \frac{5}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $- 4$ e $5$ .

$f' (- 4) = - \frac{5}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- 4) = - \frac{5}{1}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi $5$ per $1$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 5$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (- 4) = - 5$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 4$ la derivata è $- 5$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 5, \infty)$ .

Decrescente su $(- 5, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

Passaggio 9