Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$\frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.4.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - \frac{1}{{((0) - 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 6.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (0) = - 1$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 1$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - \frac{1}{{((2) - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 7.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (2) = - 1$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $- 1$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(1, \infty)$ .

Decrescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Passaggio 9