Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 10$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 + \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $3 x^{2} - 6 x - 9$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 6 x - 9$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 6 x - 9 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 6 x - 9$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x - 9 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) - 9 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 3$ .

$3 (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$3 ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 3) (x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 3) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 3, - 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $3, - 1$ .

$3, - 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 9$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 - 9$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (- 2) = 12 - 6 \cdot - 2 - 9$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 12 + 12 - 9$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 5.2.2.1

Somma $12$ e $12$ .

$f' (- 2) = 24 - 9$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $9$ da $24$ .

$f' (- 2) = 15$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $15$ .

$15$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $15$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 9$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 9$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 - 9$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 - 9$

Passaggio 6.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $6$ da $3$ .

$f' (1) = - 3 - 9$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $9$ da $- 3$ .

$f' (1) = - 12$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 12$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 3)$ .

Decrescente su $(- 1, 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 - 9$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4 - 9$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (4) = 48 - 6 \cdot 4 - 9$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f' (4) = 48 - 24 - 9$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $24$ da $48$ .

$f' (4) = 24 - 9$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $9$ da $24$ .

$f' (4) = 15$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $15$ .

$15$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $15$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Decrescente su: $(- 1, 3)$

Passaggio 9