Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 12 x + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 12 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 12 + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $3 x^{2} - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 12 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 12$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 12$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 12$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Dividi $12$ per $3$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $2, - 2$ .

$2, - 2$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} - 12$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = 3 \cdot 9 - 12$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f' (- 3) = 27 - 12$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $12$ da $27$ .

$f' (- 3) = 15$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $15$ .

$15$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $15$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$f' (0) = - 12$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 12$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 2, 2)$ .

Decrescente su $(- 2, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

Passaggio 7.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 12$

Passaggio 7.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f' (3) = 3^{3} - 12$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $12$ da $27$ .

$f' (3) = 15$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $15$ .

$15$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $15$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Decrescente su: $(- 2, 2)$

Passaggio 9