Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

Passaggio 1.1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Passaggio 2.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3

Sostituisci i valori $a = - 3$ , $b = 6$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.4.1.2.2

Moltiplica $12$ per $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.4.1.3

Somma $36$ e $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.4.1.4

Riscrivi $84$ come $2^{2} \cdot 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.5.1.2.2

Moltiplica $12$ per $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.5.1.3

Somma $36$ e $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.5.1.4

Riscrivi $84$ come $2^{2} \cdot 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Passaggio 2.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Moltiplica $12$ per $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.6.1.3

Somma $36$ e $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.6.1.4

Riscrivi $84$ come $2^{2} \cdot 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Passaggio 2.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Passaggio 2.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.52752525$ nell'espressione.

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1.52752525$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2.33333338$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 1.52752525$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $9.1651515$ da $- 7.00000016$ .

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 16.16515166$ e $4$ .

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 12.16515166$ .

$- 12.16515166$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1.52752525$ la derivata è $- 12.16515166$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.99999997$ nell'espressione.

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.99999997$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0.99999995$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $6$ per $0.99999997$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 2.99999985$ e $5.99999985$ .

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $3$ e $4$ .

$f' (0.99999997) = 7$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $7$ .

$7$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0.99999997$ la derivata è $7$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ .

Crescente su $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.5275252$ nell'espressione.

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $3.5275252$ alla potenza di $2$ .

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $12.44343403$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $6$ per $3.5275252$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 37.3303021$ e $21.1651512$ .

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 16.1651509$ e $4$ .

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 12.1651509$ .

$- 12.1651509$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 3.5275252$ la derivata è $- 12.1651509$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

Decrescente su: $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Passaggio 9