Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 81 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [- 81 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 81 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 81 x$ rispetto a $x$ è $- 81 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x - 81 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x - 81 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 81$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 18 x - 81$ .

$3 x^{2} - 18 x - 81$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 18 x - 81 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 18 x - 81 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 18 x - 81$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x - 81 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) - 81 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $3$ da $- 81$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot - 27 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot - 27 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot - 27$ .

$3 (x^{2} - 6 x - 27) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x - 27$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 27$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 9, 3$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$3 ((x - 9) (x + 3)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 9) (x + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 9) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 9, - 3$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 9$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $9$ a $x$ .

${(9)}^{3} - 9 {(9)}^{2} - 81 \cdot 9$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$729 - 9 {(9)}^{2} - 81 \cdot 9$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$729 - 9 \cdot 81 - 81 \cdot 9$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $81$ .

$729 - 729 - 81 \cdot 9$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 81$ per $9$ .

$729 - 729 - 729$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $729$ da $729$ .

$0 - 729$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $729$ da $0$ .

$- 729$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 3$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

${(- 3)}^{3} - 9 {(- 3)}^{2} - 81 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 27 - 9 {(- 3)}^{2} - 81 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 27 - 9 \cdot 9 - 81 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $9$ .

$- 27 - 81 - 81 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 81$ per $- 3$ .

$- 27 - 81 + 243$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $81$ da $- 27$ .

$- 108 + 243$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 108$ e $243$ .

$135$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(9, - 729), (- 3, 135)$

Passaggio 5