Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $3 x^{2} - 12 x + 12$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $3$ da $12$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi ${(x - 2)}^{2}$ per $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.5

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 6$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 6$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 6$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$8 - 24 + 12 (2) - 6$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $12$ per $2$ .

$8 - 24 + 24 - 6$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $24$ da $8$ .

$- 16 + 24 - 6$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $- 16$ e $24$ .

$8 - 6$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sottrai $6$ da $8$ .

$2$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(2, 2)$

Passaggio 5