Calcolo Esempi

Trovare i Punti di Flesso f(x)=x radice quadrata di 4-x^2
Passaggio 1
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 1.1.2
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 1.1.3
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.4
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 1.1.5
e .
Passaggio 1.1.6
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.1.7
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.7.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.7.2
Sottrai da .
Passaggio 1.1.8
Riduci le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.8.1
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.8.2
e .
Passaggio 1.1.8.3
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.1.8.4
e .
Passaggio 1.1.9
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.10
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.11
Somma e .
Passaggio 1.1.12
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.13
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.14
Riduci le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.14.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.14.2
e .
Passaggio 1.1.14.3
e .
Passaggio 1.1.15
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.16
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.17
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.18
Somma e .
Passaggio 1.1.19
Scomponi da .
Passaggio 1.1.20
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.20.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.20.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.1.20.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.1.21
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.1.22
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.23
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.24
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 1.1.25
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.1.26
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.26.1
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.26.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.1.26.3
Somma e .
Passaggio 1.1.26.4
Dividi per .
Passaggio 1.1.27
Semplifica .
Passaggio 1.1.28
Sottrai da .
Passaggio 1.1.29
Riordina i termini.
Passaggio 1.2
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che è dove e .
Passaggio 1.2.2
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.2.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 1.2.2.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.2.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.2.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.2.3
Semplifica.
Passaggio 1.2.4
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.4.2
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.4.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2.4.4
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.4.5
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.4.6
Somma e .
Passaggio 1.2.5
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.5.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.2.5.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2.5.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.2.6
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 1.2.7
e .
Passaggio 1.2.8
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.2.9
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.9.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.9.2
Sottrai da .
Passaggio 1.2.10
Riduci le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.10.1
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.2.10.2
e .
Passaggio 1.2.10.3
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 1.2.11
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.12
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.13
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2.14
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.15
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.16
Semplifica i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.16.1
Somma e .
Passaggio 1.2.16.2
e .
Passaggio 1.2.16.3
e .
Passaggio 1.2.16.4
Scomponi da .
Passaggio 1.2.17
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.17.1
Scomponi da .
Passaggio 1.2.17.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.2.17.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.2.18
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 1.2.19
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.20
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.21
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.1
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.1.1
Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 1.2.21.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.21.1.3
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.1.3.1
Scomponi da .
Passaggio 1.2.21.1.3.2
Scomponi da .
Passaggio 1.2.21.1.3.3
Scomponi da .
Passaggio 1.2.21.1.4
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 1.2.21.1.5
e .
Passaggio 1.2.21.1.6
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.2.21.1.7
Riscrivi in una forma fattorizzata.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.1.7.1
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.1.7.1.1
Scomponi da .
Passaggio 1.2.21.1.7.1.2
Scomponi da .
Passaggio 1.2.21.1.7.1.3
Scomponi da .
Passaggio 1.2.21.1.7.2
Raccogli gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.1.7.2.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.1.7.2.1.1
Sposta .
Passaggio 1.2.21.1.7.2.1.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.2.21.1.7.2.1.3
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.2.21.1.7.2.1.4
Somma e .
Passaggio 1.2.21.1.7.2.1.5
Dividi per .
Passaggio 1.2.21.1.7.2.2
Semplifica .
Passaggio 1.2.21.1.8
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.1.8.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.2.21.1.8.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.21.1.8.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.21.1.8.4
Sottrai da .
Passaggio 1.2.21.1.8.5
Somma e .
Passaggio 1.2.21.2
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.2.1
Riscrivi come un prodotto.
Passaggio 1.2.21.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.21.2.3
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.2.3.1
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.21.2.3.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.2.21.2.3.1.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.2.21.2.3.2
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 1.2.21.2.3.3
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 1.2.21.2.3.4
Somma e .
Passaggio 1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 2.2
Poni il numeratore uguale a zero.
Passaggio 2.3
Risolvi l'equazione per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 2.3.2
Imposta uguale a .
Passaggio 2.3.3
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.3.1
Imposta uguale a .
Passaggio 2.3.3.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.3.2.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 2.3.3.2.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.3.2.3.1
Per prima cosa, utilizza il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 2.3.3.2.3.2
Ora, utilizza il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 2.3.3.2.3.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 2.3.4
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 2.4
Escludi le soluzioni che non rendono vera.
Passaggio 3
Trova i punti dove la derivata seconda è .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
Sostituisci in per trovare il valore di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 3.1.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1.2.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 3.1.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 3.1.2.3
Somma e .
Passaggio 3.1.2.4
Riscrivi come .
Passaggio 3.1.2.5
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 3.1.2.6
Moltiplica per .
Passaggio 3.1.2.7
La risposta finale è .
Passaggio 3.2
Il punto trovato sostituendo in è . Questo punto può essere un punto di flesso.
Passaggio 4
Dividi in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.
Passaggio 5
Sostituisci un valore dell'intervallo nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.2
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.2.2
Somma e .
Passaggio 5.2.2.3
Riscrivi come .
Passaggio 5.2.2.4
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.2.2.5
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.5.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.2.2.5.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.2.2.6
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.3
Dividi per .
Passaggio 5.2.4
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
In corrispondenza di , la derivata seconda è . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo .
Crescente su perché
Crescente su perché
Passaggio 6
Sostituisci un valore dell'intervallo nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 6.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.2
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.2.2
Somma e .
Passaggio 6.2.2.3
Riscrivi come .
Passaggio 6.2.2.4
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 6.2.2.5
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.2.5.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 6.2.2.5.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 6.2.2.6
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.3
Dividi per .
Passaggio 6.2.4
La risposta finale è .
Passaggio 6.3
Per , la derivata seconda è . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo .
Decrescente su perché
Decrescente su perché
Passaggio 7
Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è .
Passaggio 8