Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $12 x^{3} - 12 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 (2 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} - 24 x$ .

$36 x^{2} - 24 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} - 24 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x^{2} - 24 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $12 x$ da $36 x^{2} - 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12 x$ da $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) - 24 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $12 x$ da $- 24 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12 x$ da $12 x (3 x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (3 x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $3 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x (3 x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ è $(0, 1)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 1)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{4} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{2^{3}}{3^{3}} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{8}{3^{3}} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27}) + 1$

Passaggio 3.3.2.1.8

Moltiplica $- 4 (\frac{8}{27})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.1

$- 4$ e $\frac{8}{27}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.8.2

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27} + 1$

Passaggio 3.3.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27} + 1$

Passaggio 3.3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{16 - 32}{27}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Sottrai $32$ da $16$ .

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{- 16}{27}$

Passaggio 3.3.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2}{3}) = 1 - \frac{16}{27}$

Passaggio 3.3.2.2.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27}{27} - \frac{16}{27}$

Passaggio 3.3.2.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27 - 16}{27}$

Passaggio 3.3.2.2.2.5

Sottrai $16$ da $27$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{11}{27}$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $\frac{11}{27}$ .

$\frac{11}{27}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ è $(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 36 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = 36 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 - 24 \cdot - 0.1$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 24$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 + 2.4$

Passaggio 5.2.2

Somma $0.36$ e $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.76$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $2.76$ .

$2.76$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 0.1$ , la derivata seconda è $2.76$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{2}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.\overline{3}$ nell'espressione.

$f'' (0.\overline{3}) = 36 {(0.\overline{3})}^{2} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 24$ per $0.\overline{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 8$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $8$ da $4$ .

$f'' (0.\overline{3}) = - 4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 6.3

Per $0.\overline{3}$ , la derivata seconda è $- 4$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \frac{2}{3})$ .

Decrescente su $(0, \frac{2}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{2}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.7\overline{6}$ nell'espressione.

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 {(0.7\overline{6})}^{2} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.7\overline{6}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.58\overline{7}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 24$ per $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $18.4$ da $21.16$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 2.76$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $2.76$ .

$2.76$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.7\overline{6}$ , la derivata seconda è $2.76$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{2}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ .

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

Passaggio 9