Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{x^{2} - 1}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $x^{2} - 1$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.9

$3$ e $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.10.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + 0) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.7

Somma $- 6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) (2 \cdot ((x^{2} - 1) x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 4 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 6 {(x^{2} - 1)}^{2} x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} - 1)}^{2}$ come $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.3

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.2

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} - 6 (- 2 x^{2}) - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.6.1

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} x + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{1 + 2} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.10.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.11

Espandi $(12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} (x^{3} - x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 (x^{3} x^{2}) + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{3 + 2} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{2} x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{3}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.4

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.5

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.2

Somma $- 12 x^{3}$ e $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 0 - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.3

Somma $12 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.2

Somma $- 6 x^{5}$ e $12 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.3

Sottrai $12 x$ da $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.1

Scomponi $6 x$ da $6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.1.1

Scomponi $6 x$ da $6 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.2

Scomponi $6 x$ da $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.3

Scomponi $6 x$ da $- 18 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.4

Scomponi $6 x$ da $6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.5

Scomponi $6 x$ da $6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (u^{2} + 2 u - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.4

Scomponi $u^{2} + 2 u - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 2.2.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = \frac{6 x ((u - 1) (u + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.5.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ e ${(x + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.6.1

Scomponi $x + 1$ da $6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.6.2.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Passaggio 2.2.5.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Passaggio 2.2.5.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.7

Elimina il fattore comune di $x - 1$ e ${(x - 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.7.1

Scomponi $x - 1$ da $(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.7.2.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Passaggio 2.2.5.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Passaggio 2.2.5.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(6 x) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$6 x (x^{2} + 3) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3.3

Imposta $x^{2} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $x^{2} + 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi $x^{2} + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 3$

Passaggio 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 3.3.3.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x (x^{2} + 3) = 0$ vera.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{3 (0)}{{(0)}^{2} - 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.1.2.3

Dividi $0$ per $- 1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = \frac{6 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{((- 0.1) + 1)}^{3} {((- 0.1) - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $6$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.6 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 0.6$ per ${(- 0.1)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 0.1$ e $1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $1$ da $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 1.1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $0.9$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 {(- 1.1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 \cdot - 1.331}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $0.729$ per $- 1.331$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{- 0.970299}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $- 1.806$ per $- 0.970299$ .

$f'' (- 0.1) = 1.86128193$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $1.86128193$ .

$1.86128193$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.1$ , la derivata seconda è $1.86128193$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = \frac{6 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 3)}{{((0.1) + 1)}^{3} {((0.1) - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $6$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.6 ({0.1}^{2} + 3)}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $0.6$ per ${0.1}^{2} + 3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $0.1$ e $1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $1$ da $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(- 0.9)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $1.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 {(- 0.9)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.4

Eleva $- 0.9$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 \cdot - 0.729}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $1.331$ per $- 0.729$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{- 0.970299}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $1.806$ per $- 0.970299$ .

$f'' (0.1) = - 1.86128193$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 1.86128193$ .

$- 1.86128193$

Passaggio 7.3

Per $0.1$ , la derivata seconda è $- 1.86128193$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 9