Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Somma $x^{2} - 4 x + 3$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

Passaggio 2.2.3.2

Somma $2 x - 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - 4$ .

$2 x - 4$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 x - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 x - 4 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 4$

Passaggio 3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 4$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $4$ per $2$ .

$x = 2$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.2

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 3 (2) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 8 + 3 (2) + 2$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 8 + 6 + 2$

Passaggio 4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scrivi $- 8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 6 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 6 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 6 + 2$

Passaggio 4.1.2.2.4

Scrivi $6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} + 2$

Passaggio 4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{6}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2$

Passaggio 4.1.2.2.6

Moltiplica $\frac{6}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + 2$

Passaggio 4.1.2.2.7

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.8

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.9

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{8 - 8 \cdot 3 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 18 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 18 + 6}{3}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Sottrai $24$ da $8$ .

$f (2) = \frac{- 16 + 18 + 6}{3}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Somma $- 16$ e $18$ .

$f (2) = \frac{2 + 6}{3}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Somma $2$ e $6$ .

$f (2) = \frac{8}{3}$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ è $(2, \frac{8}{3})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, \frac{8}{3})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.9$ nell'espressione.

$f'' (1.9) = 2 (1.9) - 4$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $1.9$ .

$f'' (1.9) = 3.8 - 4$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $4$ da $3.8$ .

$f'' (1.9) = - 0.2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.2$ .

$- 0.2$

Passaggio 6.3

Per $1.9$ , la derivata seconda è $- 0.2$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 2)$ .

Decrescente su $(- \infty, 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = 2 (2.1) - 4$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $2.1$ .

$f'' (2.1) = 4.2 - 4$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $4$ da $4.2$ .

$f'' (2.1) = 0.2$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.2$ .

$0.2$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.1$ , la derivata seconda è $0.2$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(2, \frac{8}{3})$ .

$(2, \frac{8}{3})$

Passaggio 9