Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x}{x^{2} + 25}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 25$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.6

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2.7

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.4

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} + 25)}^{2}$ come $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.2

Sposta $25$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $25$ per $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.4.2

Somma $25 x^{2}$ e $25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.6.1

Moltiplica $50$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 2$ per $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.10

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.10.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.11

Espandi $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.4

Moltiplica $4$ per $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.1.5

Moltiplica $25$ per $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.2

Sottrai $100 x^{3}$ da $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.1.12.3

Somma $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.2

Somma $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.3.3

Sottrai $2500 x$ da $- 1250 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.3

Scomponi $2 x$ da $- 3750 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.4

Scomponi $u^{2} - 50 u - 1875$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 1875$ e la cui somma è $- 50$ .

$- 75, 25$

Passaggio 2.2.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 25$ e ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.5.1

Scomponi $x^{2} + 25$ da $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 25$ da ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 2.2.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 2.2.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x (x^{2} - 75) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 75 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3.3

Imposta $x^{2} - 75$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $x^{2} - 75$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 75 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi $x^{2} - 75 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Somma $75$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 75$

Passaggio 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{75}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Passaggio 3.3.3.2.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 5 \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x^{2} - 75) = 0$ vera.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 25}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 25}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Somma $0$ e $25$ .

$f (0) = \frac{0}{25}$

Passaggio 4.1.2.2

Dividi $0$ per $25$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $5 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5 \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{{(5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

Passaggio 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Passaggio 4.3.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Passaggio 4.3.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Passaggio 4.3.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $25$ per $3$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Somma $75$ e $25$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{100}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $5$ e $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 (\sqrt{3})}{100}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Scomponi $5$ da $100$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

Passaggio 4.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{20}$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $\frac{\sqrt{3}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{20}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $5 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ è $(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

Passaggio 4.5

Sostituisci $- 5 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5 \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Passaggio 4.5.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

Passaggio 4.5.2.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

Passaggio 4.5.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Passaggio 4.5.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Passaggio 4.5.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Passaggio 4.5.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Passaggio 4.5.2.1.4

Moltiplica $25$ per $3$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

Passaggio 4.5.2.1.5

Somma $75$ e $25$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{100}$

Passaggio 4.5.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.1

Scomponi $5$ da $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{100}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.2.1

Scomponi $5$ da $100$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 (20)}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 \cdot 20}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{20}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 5 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{20}$

Passaggio 4.5.2.3

La risposta finale è $- \frac{\sqrt{3}}{20}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{20}$

Passaggio 4.6

Il punto trovato sostituendo $- 5 \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ è $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

Passaggio 4.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20}), (- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8.76025403$ nell'espressione.

$f'' (- 8.76025403) = \frac{2 (- 8.76025403) ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 8.76025403$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 17.52050807 ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 17.52050807$ per ${(- 8.76025403)}^{2} - 75$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 8.76025403$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $76.7420508$ e $25$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $101.7420508$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{1053177.23320495}$

Passaggio 6.2.3

Dividi $- 30.52161524$ per $1053177.23320495$ .

$f'' (- 8.76025403) = - 0.00002898$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 0.00002898$ .

$- 0.00002898$

Passaggio 6.3

Per $- 8.76025403$ , la derivata seconda è $- 2.89805118 E - 5$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4.33012701$ nell'espressione.

$f'' (- 4.33012701) = \frac{2 (- 4.33012701) ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 4.33012701$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{- 8.66025403 ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 8.66025403$ per ${(- 4.33012701)}^{2} - 75$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $- 4.33012701$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $18.75$ e $25$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{43.75}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $43.75$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{83740.234375}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $487.13928962$ per $83740.234375$ .

$f'' (- 4.33012701) = 0.00581726$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $0.00581726$ .

$0.00581726$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 4.33012701$ , la derivata seconda è $0.00581726$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ .

Crescente su $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 5 \sqrt{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.33012701$ nell'espressione.

$f'' (4.33012701) = \frac{2 (4.33012701) ({(4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $2$ per $4.33012701$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{8.66025403 ({4.33012701}^{2} - 75)}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $8.66025403$ per ${4.33012701}^{2} - 75$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $4.33012701$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $18.75$ e $25$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{43.75}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $43.75$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{83740.234375}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $- 487.13928962$ per $83740.234375$ .

$f'' (4.33012701) = - 0.00581726$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.00581726$ .

$- 0.00581726$

Passaggio 8.3

Per $4.33012701$ , la derivata seconda è $- 0.00581726$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, 5 \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(0, 5 \sqrt{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(5 \sqrt{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8.76025403$ nell'espressione.

$f'' (8.76025403) = \frac{2 (8.76025403) ({(8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $2$ per $8.76025403$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{17.52050807 ({8.76025403}^{2} - 75)}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $17.52050807$ per ${8.76025403}^{2} - 75$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Eleva $8.76025403$ alla potenza di $2$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $76.7420508$ e $25$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $101.7420508$ alla potenza di $3$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{1053177.23320495}$

Passaggio 9.2.3

Dividi $30.52161524$ per $1053177.23320495$ .

$f'' (8.76025403) = 0.00002898$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $0.00002898$ .

$0.00002898$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $8.76025403$ , la derivata seconda è $2.89805118 E - 5$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(5 \sqrt{3}, \infty)$ .

Crescente su $(5 \sqrt{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ .

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

Passaggio 11