Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 2 x^{3} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $4 x^{3} - 6 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 (2 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 12 x$ .

$12 x^{2} - 12 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 12 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 12 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $12 x$ da $12 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12 x$ da $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 12 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $12 x$ da $- 12 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12 x$ da $12 x (x) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3} + 6$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{3} + 6$

Passaggio 3.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 6$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $0$ e $6$ .

$f (0) = 6$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6$ è $(0, 6)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 6)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $1$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{3} + 6$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{3} + 6$

Passaggio 3.3.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 6$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + 6$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (1) = - 1 + 6$

Passaggio 3.3.2.2.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$f (1) = 5$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6$ è $(1, 5)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, 5)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 6), (1, 5)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 12 \cdot - 0.1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 12 \cdot - 0.1$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 12 \cdot - 0.1$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 1.2$

Passaggio 5.2.2

Somma $0.12$ e $1.2$ .

$f'' (- 0.1) = 1.32$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $1.32$ .

$1.32$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 0.1$ , la derivata seconda è $1.32$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) - 12 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) - 12 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 - 12 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 + 2 (- 6) (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (- 6 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 6.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 - 6$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $6$ da $3$ .

$f'' (\frac{1}{2}) = - 3$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.3

Per $\frac{1}{2}$ , la derivata seconda è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, 1)$ .

Decrescente su $(0, 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} - 12 \cdot 1.1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12 \cdot 1.1$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $1.21$ .

$f'' (1.1) = 14.52 - 12 \cdot 1.1$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $1.1$ .

$f'' (1.1) = 14.52 - 13.2$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $13.2$ da $14.52$ .

$f'' (1.1) = 1.32$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $1.32$ .

$1.32$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $1.1$ , la derivata seconda è $1.32$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 6), (1, 5)$ .

$(0, 6), (1, 5)$

Passaggio 9