Calcolo Esempi

$f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} - 90 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$f' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 90$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 90 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 90 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 60 x^{3} - 90 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 60 x^{3} - 90 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 90$ .

$f' (x) = 60 x^{3} - 180 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $60 x^{3} - 180 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 180 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x^{3}$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $60$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 180 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 180$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 180 x$ rispetto a $x$ è $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} - 180 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} - 180 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 180$ per $1$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} - 180$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $180 x^{2} - 180$ .

$180 x^{2} - 180$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $180 x^{2} - 180 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$180 x^{2} - 180 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $180$ a entrambi i lati dell'equazione.

$180 x^{2} = 180$

Passaggio 2.3

Dividi per $180$ ciascun termine in $180 x^{2} = 180$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $180$ ciascun termine in $180 x^{2} = 180$ .

$\frac{180 x^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $180$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{180 x^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{180}{180}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $180$ per $180$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 15 {(1)}^{4} - 90 {(1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 15 \cdot 1 - 90 {(1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $15$ per $1$ .

$f (1) = 15 - 90 {(1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 15 - 90 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 90$ per $1$ .

$f (1) = 15 - 90$

Passaggio 3.1.2.2

Sottrai $90$ da $15$ .

$f (1) = - 75$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $- 75$ .

$- 75$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ è $(1, - 75)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, - 75)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 15 {(- 1)}^{4} - 90 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = 15 \cdot 1 - 90 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $15$ per $1$ .

$f (- 1) = 15 - 90 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 15 - 90 \cdot 1$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $- 90$ per $1$ .

$f (- 1) = 15 - 90$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $90$ da $15$ .

$f (- 1) = - 75$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 75$ .

$- 75$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ è $(- 1, - 75)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, - 75)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, - 75), (- 1, - 75)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = 180 {(- 1.1)}^{2} - 180$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = 180 \cdot 1.21 - 180$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $180$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 217.8 - 180$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $180$ da $217.8$ .

$f'' (- 1.1) = 37.8$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $37.8$ .

$37.8$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 1.1$ , la derivata seconda è $37.8$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 180 {(0)}^{2} - 180$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 180 \cdot 0 - 180$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $180$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 180$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $180$ da $0$ .

$f'' (0) = - 180$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 180$ .

$- 180$

Passaggio 6.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 180$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 1, 1)$ .

Decrescente su $(- 1, 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = 180 {(1.1)}^{2} - 180$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = 180 \cdot 1.21 - 180$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $180$ per $1.21$ .

$f'' (1.1) = 217.8 - 180$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $180$ da $217.8$ .

$f'' (1.1) = 37.8$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $37.8$ .

$37.8$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $1.1$ , la derivata seconda è $37.8$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 75), (1, - 75)$ .

$(- 1, - 75), (1, - 75)$

Passaggio 9