Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} - x - 1}$

Passaggio 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 x^{2} - x - 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x^{2} - x - 1 \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.2.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 1.2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 1.2.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 1.2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 1 \geq 0$

Passaggio 1.2.8.1.3

Il lato sinistro di $20$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(0)}^{2} - (0) - 1 \geq 0$

Passaggio 1.2.8.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 1.2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(4)}^{2} - (4) - 1 \geq 0$

Passaggio 1.2.8.3.3

Il lato sinistro di $27$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{1}{2}$ Vero

$- \frac{1}{2} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < - \frac{1}{2}$ Vero

$- \frac{1}{2} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 1.2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - \frac{1}{2}$ o $x \geq 1$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 1}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 1}$

Passaggio 2

Poiché nel dominio non sono presenti solo numeri reali, $\sqrt{2 x^{2} - x - 1}$ non è continua in tutti i numeri reali.

Non continuo

Passaggio 3