Calcolo Esempi

$y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Passaggio 1

Scrivi $y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ come funzione.

$f (x) = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$24 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 18$ .

$24 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Somma $24 x^{2} - 36 x - 24$ e $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $12$ da $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $12$ da $24 x^{2}$ .

$12 (2 x^{2}) - 36 x - 24 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $12$ da $- 36 x$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) - 24 = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $12$ da $- 24$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $12$ da $12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $12$ da $12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e la cui somma è $b = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 3$ come $1$ più $- 4$ .

$12 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$12 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$12 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$12 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Passaggio 3.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$12 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- \frac{1}{2}, 2$ .

$- \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.5$ nell'espressione.

$f' (- 1.5) = 24 {(- 1.5)}^{2} - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1.5) = 24 \cdot 2.25 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $24$ per $2.25$ .

$f' (- 1.5) = 54 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 36$ per $- 1.5$ .

$f' (- 1.5) = 54 + 54 - 24$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $54$ e $54$ .

$f' (- 1.5) = 108 - 24$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $24$ da $108$ .

$f' (- 1.5) = 84$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $84$ .

$84$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1.5$ la derivata è $84$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{1}{2})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.5, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.75$ nell'espressione.

$f' (0.75) = 24 {(0.75)}^{2} - 36 \cdot 0.75 - 24$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.75$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.75) = 24 \cdot 0.5625 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $24$ per $0.5625$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 36$ per $0.75$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 27 - 24$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $27$ da $13.5$ .

$f' (0.75) = - 13.5 - 24$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $24$ da $- 13.5$ .

$f' (0.75) = - 37.5$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 37.5$ .

$- 37.5$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0.75$ la derivata è $- 37.5$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 0.5, 2)$ .

Decrescente su $(- \frac{1}{2}, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 24 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3 - 24$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = 24 \cdot 9 - 36 \cdot 3 - 24$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $24$ per $9$ .

$f' (3) = 216 - 36 \cdot 3 - 24$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 36$ per $3$ .

$f' (3) = 216 - 108 - 24$

Passaggio 8.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $108$ da $216$ .

$f' (3) = 108 - 24$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $24$ da $108$ .

$f' (3) = 84$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $84$ .

$84$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $84$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \frac{1}{2}), (2, \infty)$

Decrescente su: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Passaggio 10