Calcolo Esempi

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Passaggio 1

Scrivi $y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ come funzione.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4 \ln (3 x - 4)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \ln (3 x - 4)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Passaggio 2.1.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Passaggio 2.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Passaggio 2.1.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Passaggio 2.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Passaggio 2.1.2.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

Passaggio 2.1.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

Passaggio 2.1.2.8

Somma $3$ e $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

Passaggio 2.1.2.9

$\frac{1}{3 x - 4}$ e $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

Passaggio 2.1.2.10

$- 4$ e $\frac{3}{3 x - 4}$ .

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

Passaggio 2.1.2.11

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

Passaggio 2.1.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

Passaggio 2.1.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

Passaggio 2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

Passaggio 2.1.3.3

Sottrai $12$ da $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x - 16 = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 16$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 16$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{3}$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 x - 4 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 4$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

Passaggio 7

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1.3333334, \frac{16}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.33333345$ nell'espressione.

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $3$ per $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Passaggio 8.2.1.2

Sottrai $16$ da $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $3$ per $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $4$ da $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $- 5.99999965$ per $6.00000035$ .

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.99999988$ .

$- 0.99999988$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 3.33333345$ la derivata è $- 0.99999988$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(1.3333334, \frac{16}{3})$ .

Decrescente su $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{16}{3}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6.3333335$ nell'espressione.

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Moltiplica $3$ per $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Passaggio 10.2.1.2

Sottrai $16$ da $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Moltiplica $3$ per $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $4$ da $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

Passaggio 10.2.3

Dividi $3.0000005$ per $15.0000005$ .

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $0.20000002$ .

$0.20000002$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 6.3333335$ la derivata è $0.20000002$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{16}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{16}{3}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{16}{3}, \infty)$

Decrescente su: $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Passaggio 12