Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ come funzione.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $3 x^{2} - 16 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 16 x - 12$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ e la cui somma è $b = - 16$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $- 16$ da $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $- 16$ come $2$ più $- 18$ .

$3 x^{2} + (2 - 18) x - 12 = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 2 x - 18 x - 12 = 0$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} + 2 x) - 18 x - 12 = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 6) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $3 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 2) (x - 6) = 0$ vera.

$x = - \frac{2}{3}, 6$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- \frac{2}{3}, 6$ .

$- \frac{2}{3}, 6$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.6666667$ nell'espressione.

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.6666667$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot 2.777777\overline{8} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} + 26.6666672 - 12$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $8.333333\overline{6}$ e $26.6666672$ .

$f' (- 1.6666667) = 35.00000086 - 12$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $12$ da $35.00000086$ .

$f' (- 1.6666667) = 23.00000086$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $23.00000086$ .

$23.00000086$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1.6666667$ la derivata è $23.00000086$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{2}{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.6666667, 6)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.\overline{6}$ nell'espressione.

$f' (2.\overline{6}) = 3 {(2.\overline{6})}^{2} - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.\overline{6}$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.\overline{6}) = 3 \cdot 7.11111102 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $7.11111102$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $2.\overline{6}$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 42.6666664 - 12$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $42.6666664$ da $21.33333306$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 21.\overline{3} - 12$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $12$ da $- 21.\overline{3}$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 33.\overline{3}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 33.\overline{3}$ .

$- 33.\overline{3}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2.\overline{6}$ la derivata è $- 33.\overline{3}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 0.6666667, 6)$ .

Decrescente su $(- \frac{2}{3}, 6)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = 3 {(7)}^{2} - 16 \cdot 7 - 12$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f' (7) = 3 \cdot 49 - 16 \cdot 7 - 12$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $3$ per $49$ .

$f' (7) = 147 - 16 \cdot 7 - 12$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 16$ per $7$ .

$f' (7) = 147 - 112 - 12$

Passaggio 8.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $112$ da $147$ .

$f' (7) = 35 - 12$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $12$ da $35$ .

$f' (7) = 23$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $23$ .

$23$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 7$ la derivata è $23$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(6, \infty)$ .

Crescente su $(6, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (6, \infty)$

Decrescente su: $(- \frac{2}{3}, 6)$

Passaggio 10