Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ , $[0, 2]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[0, 2]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$8 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x - 2 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $8 x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = 8 x - 2$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 x - 2$ .

$8 x - 2$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(0, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(0, 2)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(0, 2)$ perché la derivata è continua su $(0, 2)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[0, 2]$ e differenziabile su $(0, 2)$ .

$f (x)$ è continua su $[0, 2]$ e differenziabile su $(0, 2)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[0, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$f (0) = 3$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[0, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 4 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 3$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 3$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (2) = 16 - 2 \cdot 2 + 3$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (2) = 16 - 4 + 3$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $4$ da $16$ .

$f (2) = 12 + 3$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $12$ e $3$ .

$f (2) = 15$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $15$ .

$15$

Passaggio 9

Risolvi $8 x - 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $8 x - 2 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $\frac{(15) - (3)}{(2) - (0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$8 x - 2 = \frac{15 - 3}{2 - (0)}$

Passaggio 9.1.1.2

Sottrai $3$ da $15$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2 - (0)}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2 + 0}$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2}$

Passaggio 9.1.3

Dividi $12$ per $2$ .

$8 x - 2 = 6$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 x = 6 + 2$

Passaggio 9.2.2

Somma $6$ e $2$ .

$8 x = 8$

Passaggio 9.3

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

Passaggio 9.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{8}{8}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Dividi $8$ per $8$ .

$x = 1$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = 1$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 2$ .

C'è una tangente con $x = 1$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 2$

Passaggio 11